证明不等式如何做？

这个其实在高中我们就有所接触，解决这类问题的方法大致有两种。一种是将不等式移动至某一侧，构造一个全新的函数，利用导数或者中值定理将问题简化，还有一种就是反解出x，再用导数解决。其中，你所提问的部分应该属于高数中有关中值定理的那一块。对于上面所提到的两种方法，第一种更加广泛适用性比较大。就如所提例题，我们可以简单的分析一下：要证明x>0时就可以转化为f（x）=sinx-x+x^3/6 >0.由于f（0）=0，因此只需要能证明f（x）在【0，正无穷）上严格的单调增加，或者是说f′（x）>0（x>0)就可以了。 现在我们对f（x）求导，得到：f′（x）=cosx-1+x^2/2。到此，我们虽然无法一下子判断是否一定有f′（x）>0，但注意到f′（0）=0，因此只需要能证明f′（x）在x>0严格单调增加，或者说f′′（x）>0就可以了。由于f′′（x）=x-sinx，而x-sinx>0我们可有极限的知识显然得知，在把这个过程倒退回去就能证明结论。

这是指导书上说的，第一我不明白而x-sinx>0可由极限的知识显然得知这是为什么，第二求给出具体求解步骤

我清楚你的意思了。①：因为x-sinx=0 求导 1-cosx≥0 恒成立 所以x-sinx=0至多有一个解 因为x=0 时 x-sinx=0 ，此外求导结果 1-cosx由于cosx衡属于【-1,1】所以x-sinx的一阶道衡大于等于0，故函数不减。所以当x>0时，x-sinx>0我们可有极限的知识显然得知这句话就正确了。第二、具体步骤如下：令f（x）=sinx-x+x^3/6,则当x>0时，有f′′（x）=x-sinx>0，所以f′（x）在x>=0严格单调增加，即当x>0时，有f′（x）=cosx-1+x^2/2>f′（0）=0. 由此可知f（x）在【0，正无穷）也是严格单调增加的，这样，当x>0时，便成立：f（x）=sinx-x+x^3/6>f（0）=0.

追加：这种问题其实不难，可以归结为一类。其次，就是答案很多隐藏在问题中，如此题的x>0这个条件，当我们思考时代入x=0这个条件，就会发现左右两者刚好相等，所以很多时候也可以用这种技巧去考虑题。希望有所帮助。

同学你好，不等式的门类有很多，大体分为代数，分析，几何

（这也是近现代数学三大主支，其实几何不等式最多，因为几何的体系融入分析与代数，也最为庞大），同学举得例子是微积分常见的不等式问题

所以不等式*话题就太大了，我的学长何大佬对同学的问题已经讲明的比较清楚了，如果同学对不等式证明确实感兴趣，我这里有一点小小的资料，可以看看（不等式通讯，里面有些许网址）希望可以帮助到同学呢~链接:https://pan.baidu.com/s/1X*0v6NKn2k1vF9hQK1a3Q 提取码:92ql