[问题2019S02]18级高代2每周一题第2题

正确。

正确。

由于没有非平凡的 A-不变子空间，所以 A 没有实特征值。因此，你的前半页证明没有任何的意义；另外前半页的证明中有很多基本性的概念错误，很不应该，比如证明第4行：-\lambda 也是 A 的特征值（难道 B\alpha=0 不可以吗？），再比如第5行：特征值有0的话，直接可推出行列式等于0，为何会有最后两种类型的矩阵？后半页的也有很多漏洞（因为前半页的证明根本没有 get 到要点），比如“没有非平凡的 A-不变子空间”并不能直接推出 trA=trB=0，这需要结合 AB+BA=0 才能推出（参考周烁星或王捷翔的前半段证明）。注意：证明不能乱写，不要频繁出现概念性的错误，希望你能好好修改你的证明。

正确。两个小细节需要注意：（1）若 |B|=0，则 \psi 有非平凡的不变子空间，这一点要说明一下，不能直接假设 |B| 不等于零。（2）证明倒数第4行：|A| 小于等于零吧？你并没有证明 a_{11} 非零。

谢老师，我在一开始就证明了两个线性变换都是双射，从而他们对应的表示矩阵A、B都是可逆阵，所以A、B的行列式都不为0

@复旦大学-王捷翔: 好吧，那第2小点需要注意。

正确。但计算太繁琐了，一个好的思路是：适当选取 V 的一组基，使得 \phi 的表示矩阵比较简单，这样计算起来就不繁琐了。

正确。

正确。因为 \phi 只有平凡的不变子空间，所以第一部分完全不需要。第二部分，写成复根会有歧义，应该写成共轭虚根。

第2页的第3行：A,B 无实特征值不能推出它们仅有纯虚特征值，只能是有虚特征值（纯<--做不到）。至于第5行的那些计算式子，无法验证是否正确，因为你没写清楚怎么来的。希望你今后养成良好（友好）的论证习惯。

正确。但第二种情况完全没必要讨论，\phi 有实特征值就有非平凡的不变子空间，那么特征值0也不例外。

正确。

正确。注意一下语言描述的准确性：比如：第1页断言 A 不存在非零的实特征值（不能去掉-->实），因为复特征值也是特征值。

正确。

正确。

正确。

正确。注意一下语言描述的准确性：比如第2行都要加上无实特征向量（不能没有-->实），因为复特征向量也是特征向量。

正确。

第1页的倒数第2行：实矩阵没有实特征值，只能推出有共轭虚特征值，而不是纯虚特征值（多了-->纯）。第1页的倒数第4行也有类似的问题，但是利用trA=0 可以证明 A 的特征值都是纯虚特征值，但无论如何 B 的特征值一般不是纯虚特征值。另外，证明的最后几行：\phi 与 \psi 的写法混淆了。