数列的保不等式性

基本保不等式性 设 \{x_n\},\{y_n\} 均收敛，且存在正整数 N，当 n > N 时 x_n \leq y_n，则 \lim\limits_{n \to \infty}x_n \leq \lim\limits_{n \to \infty}y_n。 推导逻辑：令 \lim\limits_{n \to \infty}x_n = a,\lim\limits_{n \to \infty}y_n = b，反证法假设 a > b，取 \varepsilon = \frac{a - b}{2} > 0，存在 N_1,N_2，当 n > \max\{N,N_1,N_2\} 时，x_n > \frac{a + b}{2} 且 y_n < \frac{a + b}{2}，与 x_n \leq y_n 矛盾，故 a \leq b。 注：x_n < y_n 也只能推出 \lim\limits_{n \to \infty}x_n \leq \lim\limits_{n \to \infty}y_n，例如 x_n = \frac{1}{n+1}, y_n = \frac{1}{n}，x_n < y_n 但极限均为 0。