拎出来水一水
构造函数
f₁(x)=x+x²+x³+...+xⁿ
=x(1+x+x²+...+xⁿ⁻¹)
=(x-xⁿ)/(1-x)
f₁'(x)=1+2x+3x²+...+nxⁿ⁻¹
=x⁻¹(x+2x²+...+nxⁿ)
=[(x-xⁿ)/(1-x)]'
=(nxⁿ⁺¹-(n+1)xⁿ+1)/(1-x)²
设
f₂(x)=xf₁'(x)=x+2x²+3x³+...+nxⁿ
=x(nxⁿ⁺¹-(n+1)xⁿ+1)/(1-x)
则
f₂'(x)=1+2²x+3²x²+...+n²xⁿ⁻¹
=x⁻¹(1²x+2²x²+3²x³+...+n²xⁿ)
=[x(nxⁿ⁺¹-(n+1)xⁿ+1)/(1-x)]'
此时取极限x→1，则得∑n²=lim(x→1)f₂'(x)，多次运用洛必达法则即可得到∑n²的表达式。
同理，令f₃(x)=xf₂'(x)，对f₃'(x)取x→1的极限即可得到∑n³，由此可推∑n⁴，∑n⁵乃至∑nᵃ！
但是从∑n³开始，手算计算量极大，不宜手算，建议丢给电脑跑程序为好。
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