关于∑nᵃ等幂求和的一种求法

拎出来水一水 构造函数 f₁(x)=x+x²+x³+...+xⁿ =x(1+x+x²+...+xⁿ⁻¹) =(x-xⁿ)/(1-x) f₁'(x)=1+2x+3x²+...+nxⁿ⁻¹ =x⁻¹(x+2x²+...+nxⁿ) =[(x-xⁿ)/(1-x)]' =(nxⁿ⁺¹-(n+1)xⁿ+1)/(1-x)² 设 f₂(x)=xf₁'(x)=x+2x²+3x³+...+nxⁿ =x(nxⁿ⁺¹-(n+1)xⁿ+1)/(1-x) 则 f₂'(x)=1+2²x+3²x²+...+n²xⁿ⁻¹ =x⁻¹(1²x+2²x²+3²x³+...+n²xⁿ) =[x(nxⁿ⁺¹-(n+1)xⁿ+1)/(1-x)]' 此时取极限x→1，则得∑n²=lim(x→1)f₂'(x)，多次运用洛必达法则即可得到∑n²的表达式。 同理，令f₃(x)=xf₂'(x)，对f₃'(x)取x→1的极限即可得到∑n³，由此可推∑n⁴，∑n⁵乃至∑nᵃ！ 但是从∑n³开始，手算计算量极大，不宜手算，建议丢给电脑跑程序为好。